daniel-yangのブログ

メインブログ「受動態」(読書感想文ブログ)とは異なる内容を気まぐれで記します。

誕生日が同じっ!クラスメイトがいる確率

暇なので、確率の計算をしてみようと思います。
中学生の時に、同じ部活に一人と、クラスメイトに一人。同じ誕生日の人がいました。
当時「すっごい偶然!」と運命を感じました。
 
その後、数学の授業で確率統計を習いました。
早速、「すっごい偶然!」の確率=「クラスメイトに、自分と同じ誕生日の人がいる確率」を計算してみました。
「ぜんぜん、すごい偶然では無い!」
と唖然とした記憶があります。
 
みなさんは、クラスメイトに自分と同じ誕生日の人がいる確率はどの程度だと思いますか? 計算しないで考えて見ましょう。
例えば、エイヤーッ!とf:id:Daniel_Yang:20140723211500p:plainかな?と考えた場合、小学校の六年間で、毎年クラス替えがあれば、一度くらいは、クラスメイトに同じ誕生日の人がいるかもな。
と言う頻度になります。(厳密には、クラス替えがあっても、繰り返し同じ人とクラスメイトになるので、この計算は間違ってますが(^_^;))
 
さて、さて、さて。
では、実際に計算してみましょう。
 
ーーーーー
 
先ずは、クラスが二人だったとき!
えっ!?
いや、簡単なところから計算するのが、吉というものです(^_^;)
閏年(うるうどし)とか、面倒なことは考えず、一年は三百六十五日ですから、f:id:Daniel_Yang:20140723214935p:plainです。
小数点で表現すると、0.00274(小数点以下六桁めを四捨五入しています。)
百分率で表現すると、0.274%
です。
二人しかいないクラスで、
「やぁ、君と僕は誕生日が同じだね!」
と言う確率は、0.274%です。
かなり希な感じですね。
 
次は三人のクラスの場合!
途端に、計算がむずかしくなります。
ストレートに、考えると、
場合分けをして、足し算すれば良いです。
場合分けは、二つ。
1. 右の席の子が同じ誕生日
2. 右の席の子が同じ誕生日ではなく、左の席の子が同じ誕生日
です。
この二つを足せば良いです。
あれ? 右の子も、左の子も同じ誕生日の場合は?と疑問に思うかも知れませんが、それは、1.の場合に含まれます。
ですから、
3. 右の子も、左の子も同じ誕生日の場合
を足してはイケマセン。
では、計算。
1. 右の席の子が同じ誕生日の確率は、f:id:Daniel_Yang:20140723214935p:plain
簡単です。
2. 右の席の子が同じ誕生日ではなく、左の席の子が同じ誕生日の確率は、
2-1. 右の席の子が同じ誕生日で無い確率f:id:Daniel_Yang:20140723215516p:plain
2-2. 左の子が同じ誕生日の確率f:id:Daniel_Yang:20140723214935p:plain
をかけ算してf:id:Daniel_Yang:20140723220049p:plain
です。
この二つを足します。
f:id:Daniel_Yang:20140723220530p:plain
通分して、
f:id:Daniel_Yang:20140723220640p:plain
f:id:Daniel_Yang:20140723221604p:plainです。
小数点で表現すると、0.00547(小数点以下六桁めを四捨五入しています。)
百分率で表現すると、0.547%
二人の時に比べて、おおよそ倍の確率となりました。
しかしながら、それでもずいぶんと低い確率ですね。
 
では、クラスメイトが四人の時。
同じ要領で計算します。
1. 右の席の子が同じ誕生日の確率は、f:id:Daniel_Yang:20140723214935p:plain
2. 右の席の子が同じ誕生日ではなく、左の席の子が同じ誕生日の確率は、f:id:Daniel_Yang:20140723221953p:plain
です。
3. 右の席の子も、左の席の子も同じ誕生日ではなく、前の席の子が同じ誕生日の確率は、
3-1. 右の席の子も左の席の子も同じ誕生日でなはない確率 
f:id:Daniel_Yang:20140723222604p:plain
3-2. 前の子が同じ誕生日の確率
f:id:Daniel_Yang:20140723214935p:plain
の掛け算です。
f:id:Daniel_Yang:20140723223007p:plain
この三つを足します。
 
f:id:Daniel_Yang:20140723223717p:plain
通分して
f:id:Daniel_Yang:20140723223733p:plain
答えは、
f:id:Daniel_Yang:20140723223747p:plain
小数点で表現すると、0.00820(小数点以下六桁めを四捨五入しています。)
百分率で表現すると、0.820%
だいぶ確率が高くなりましたが、まだ1%以下ですね。
四人クラスに、自分と同じ誕生日の子供がいる確率は、やっぱりずいぶんと低いです。
 
では、五人だったら?
同じように計算できるのですが、だんだん面倒になってきたので、頭を切り換えます。
・ 同じ誕生日の人が誰もいない確率
を計算し、1から引くことにします。
試しに、二人の時は、
f:id:Daniel_Yang:20140723225312p:plain
おぉ。合ってますね。
三人の時は、
f:id:Daniel_Yang:20140723225726p:plain
おぉ。これも合ってますね。
四人の時は、
f:id:Daniel_Yang:20140723230027p:plain
おぉ。これも合ってます。
このやり方で間違い無さそうです。
あらためて、五人の時は、
f:id:Daniel_Yang:20140723231454p:plain
小数点で表現すると、0.01091(小数点以下六桁めを四捨五入しています。)
百分率で表現すると、1.091%
ようやく1%を越えました。
五人のクラスだと、自分と同じ誕生日の人がいる確率は、1%以上です。
 
ここで、問題が発生しました。
分母が、11桁になり、僕の手持ちの計算機(エクセルなのだが(^_^;))がエラーを起こして、桁を間違えました。
工夫が必要です。
 
「有効数字」と言う考え方を取り入れて、計算を簡単にします。
ここまでは、小学生のみなさんでも、学校で習ったとおりの計算の仕方でした。
以降は、大学生のレベルです。
不必要に正確さを求めない計算です。
小学生のみなさん、ゴメンナサイ。
 
ここまで、小数点以下六桁めを四捨五入してきましたので、有効数字六桁で計算していきます。
「有効数字」とは何ぞや?
と言う説明はむずかしいので省きます。
工学部に進んだら、必ず習うので、学校で教わるまでお待ち下さい。
既に大人で「習わなかったよ。」と言う方は、
「よくわからないけれど、そう言うものか。」
とテキトーに納得して下さい。
 具体的には、
f:id:Daniel_Yang:20140724001329p:plain
f:id:Daniel_Yang:20140724001401p:plain
を計算して、有効数字六桁に丸めます。
f:id:Daniel_Yang:20140724001455p:plain
ですが、
f:id:Daniel_Yang:20140724001542p:plain
として計算します。
すなわち、
f:id:Daniel_Yang:20140724001712p:plain
です。
順番に六桁で丸めていきますので、次の計算になります。
f:id:Daniel_Yang:20140724001821p:plain
これを小数点六桁めを四捨五入すると、
0.01092
百分率で表現すると、1.092%
先ほどの計算では、
1.091%でしたが、
1.092%となりました。
0.001%の誤差が生じました。
これを丸め誤差と言います。
つまり、不正確なのですが、最後の一桁だけに誤差が収まるように考慮して、もう一桁多く計算していくのが有効数字の考え方です。
 
同様に、六人クラスの場合は、(途中の計算を省略して、)
1-0.989085×0.997260
=1-0.986375
=0.013625
=1.363%(※)
 
(※)ホントは、1.362%です。なぜなら、四捨五入の結果5になったものをもう一度四捨五入する場合は、精度が1/2桁低くなっているので、偶数にまるめるルールがあるからです。が、ここではややこしくなるので、便宜的にそのまま「五入」と言うことで、25を3としました。
 
 
七人クラスの場合は、
1-0.98375×0.997260
=1-0.983672
=0.016328
=1.633%
 
八人クラスの場合は、
1-0.983672×0.997260
=1-0.980977
=0.019023
=1.902%
 
九人クラスの場合は、
1-0.980977×0.997260
=1-0.978289
=0.021711
=2.171%
 
十人クラスの場合は、
1-0.978289×0.997260
=1-0.975608
=0.024392
=2.439%
 
だいぶ確率が高くなってきました。
以降は、計算結果のみ記していきます。
 
11人:2.707%
12人:2.973%
13人:3.239%
14人:3.504%
15人:3.769%
16人:4.032%
17人:4.295%
18人:4.557%
19人:4.819%
20人:5.080%
21人:5.340%
22人:5.599%
23人:5.858%
24人:6.116%
25人:6.373%
26人:6.630%
27人:6.885%
28人:7.140%
29人:7.395%
30人:7.649%
31人:7.901%
32人:8.154%
33人:8.406%
34人:8.657%
35人:8.907%
36人:9.156%
37人:9.405%
38人:9.654%
39人:9.901%
40人:10.148%
41人:10.394%
42人:10.640%
43人:10.884%
44人:11.129%
45人:11.372%
46人:11.615%
47人:11.857%
48人:12.099%
49人:12.339%
50人:12.580%
 
 一クラスの人数が40人を越えると、10%を越えます。
それでも、逆に言えば、
「一クラスの人数が40の場合、自分と同じ誕生日の人がいない確率は、89.52%」
であり、同じ誕生日の人がいる確率の方がだいぶ低い事が解ります。
ちなみに、50%を越えるのは、254人です。
言い換えると、
「一学年254人ならば、自分と同じ誕生日の人が同じ学年にいる確率は50%」
と言うことが出来ます。
では、ちょうど一年の日数と同じ365人が集まったらどうなるでしょうか。
それでも、63.2%です。
これを、不思議と思いますか?
「ふーん。そうなんだ。」
と思うと、確率が面白く感じられますね。
グラフにしてみました。
f:id:Daniel_Yang:20140724011831p:plain
 
いかがでしたか?
では、ここで発展させて、
「自分と同じ誕生日」
ではなく、
「誰でも良いから、クラスの中に同じ誕生日の人がいる確率」
を計算してみましょう。
委細省略して、結果のみグラフにします。
f:id:Daniel_Yang:20140724013255p:plain
50%を越えるのは、23人の場合です。
40人の学級では、89%
逆に言うと、40人のクラスで、
「誰も同じ誕生日の人がいない」
と言う確率は、11%で、まれと言うべきでしょう。
(「まれ」と言うかどうかは、主観判断ですが)
 
ちょうど「自分と同じ誕生日の人」がいる確率が10%ですので、
40人学級だと、
「このクラスに俺と同じ誕生日の人はいないが、A君とB君は同じ誕生日だ。」
と、言えるケースが多い事になります。
 
ふぅ。今日は面白かった。
では、みなさん、良い夏休みを(^^)/~~~
(これをコピペして、「夏休みの自由研究をやりました!」と言う人が出現したら、面白いな。と思いつつ、よい子は自分で考えてネ!)